幻方,也稱九宮格,宋代數(shù)學(xué)家楊輝稱之為縱橫圖,是我國(guó)一種傳統(tǒng)數(shù)字游戲。幻方是將從1到若干個(gè)數(shù)的自然數(shù)排成縱橫各為若干個(gè)數(shù)的正方形,使在同一行、同一列和同一對(duì)角線上的幾個(gè)數(shù)的和都相等。古時(shí)候幻方經(jīng)常在官府、學(xué)堂等場(chǎng)所出見,后來(lái)通過印度、阿拉伯等地傳到西方,因其奇幻的特性,被稱為Magic Square,即"幻方"或"魔方"。
讓我們從一首古詩(shī)開始幻方的探究吧:
四海三山八仙洞,九龍王子一枝蓮。
二七六郎賞月半,周圍十五月團(tuán)圓。
這首古詩(shī)的背景為:相傳大禹治水時(shí),在黃河支流洛水中浮現(xiàn)出一只神龜,龜背上有一個(gè)很奇特的圖案,古人認(rèn)為是一種祥瑞,預(yù)示著抗洪救災(zāi)工作馬上成功,此圖被稱為洛書,洛書中的小點(diǎn)點(diǎn)其實(shí)代表9個(gè)數(shù)……像這樣每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和都相等的方格表就叫做幻方,三行三列的幻方就叫三階幻方,類似的四行四列的幻方就叫四階幻方。
另一傳說(shuō),上古伏羲氏時(shí),有龍馬從黃河里跳出來(lái),背上負(fù)著河圖;有神龜從洛水里跳出來(lái),背上負(fù)有洛書。伏羲氏根據(jù)河圖、洛書演化成八卦。洛書便是最早的幻方,用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語(yǔ)言解釋,就是用1~9九個(gè)數(shù)字,填在九個(gè)格子里,使每一橫行、每一豎列以及兩條對(duì)角線上3個(gè)數(shù)字的和都等于15。
洛書被世界公認(rèn)為組合數(shù)學(xué)的鼻祖,它是中華民族對(duì)人類的偉大貢獻(xiàn)之一。同時(shí),洛書以其高度抽象的內(nèi)涵,對(duì)中國(guó)古代政治倫理、數(shù)學(xué)、天文氣象、哲學(xué)、醫(yī)學(xué)、宗教等等都產(chǎn)生了重要影響。在遠(yuǎn)古傳說(shuō)中,于治國(guó)安邦上也具有積極的寓意。包括洛書在內(nèi)的幻方自古以來(lái)在亞、歐、美洲不少國(guó)家都被作為驅(qū)邪避兇的吉祥物。
最早將數(shù)字與洛書相連的記載是2300年前的《莊子·天運(yùn)》,它認(rèn)為"天有六極五常,帝王順之則治,逆之則兇。九洛之事,治成德備,監(jiān)照下土,天下戴之,此謂上皇"。遠(yuǎn)古時(shí)代,伏羲依靠河圖畫出八卦,大禹按照洛書劃分九州,并制定治理天下的九類大法,圣人們根據(jù)它們演繹出各種治國(guó)安邦的良策,對(duì)人類社會(huì)與自然界的認(rèn)識(shí)也得到步步深化。大禹從洛書中數(shù)的相互制約,均衡統(tǒng)一得到啟發(fā)而制定國(guó)家的法律體系,使得天下一統(tǒng),歸于大治,這就是"借鑒思維"的開端,這種活化思維的方式已成為現(xiàn)代科學(xué)靈感的來(lái)源之一。
作為洛書三階幻方基礎(chǔ)的九宮數(shù)字“二九四,七五三,六一八”,在公元80年出版的古書《大戴禮記》卷八《明堂篇》中有明顯記載,這是中國(guó)人在數(shù)學(xué)上的偉大創(chuàng)造,它奠定了數(shù)學(xué)中一個(gè)重要分支——組合學(xué)的基礎(chǔ)。
中國(guó)不僅擁有幻方的發(fā)明權(quán),而且是對(duì)幻方進(jìn)行深入研究的國(guó)家。從洛書發(fā)端的幻方在數(shù)千年后更加生機(jī)盎然,被稱為具有永恒魅力的數(shù)學(xué)問題。十三世紀(jì),中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在世界上首先開展了對(duì)幻方的系統(tǒng)研究,并編制出三至十階幻方,記載在他1275年寫的《續(xù)古摘廳算法》一書中。洛書上的三階幻方,楊輝將其生成法和最后布局歸結(jié)為以下8句話:
關(guān)于幻方的基本填法有一句順口溜:“九宮者,二四為肩,六八為足,左三右七,戴九履一,五居中央”_。其實(shí),除了5以外,經(jīng)過旋轉(zhuǎn)900、1800、2700和反射,可以得到七種變式填法,共計(jì)八種(見下圖)。
楊輝稱四階幻方為“花十六圖”或“四四圖”,并給出陰、陽(yáng)兩種排列的方式。
這兩個(gè)四階幻方所應(yīng)用的數(shù)字是一致的,只是在排列上有差異。但不管怎樣排列,幻方常數(shù)沒有變,始終是34.
歐洲十四世紀(jì)也開始了這方面的工作。著名數(shù)學(xué)家費(fèi)爾瑪、歐拉都進(jìn)行過幻方研究,但直到1514年,德國(guó)著名畫家杜勒才繪制出了完整的四階幻方。直到十五世紀(jì),住在君士坦丁堡的魔索普拉才把中國(guó)的縱橫圖傳給了歐洲人,歐洲人認(rèn)為幻方可以鎮(zhèn)壓妖魔,所以把它作為護(hù)身符,也把它叫作【Magic Square】。1977年,四階幻方還作為人類的特殊語(yǔ)言被美國(guó)旅行者1號(hào)、2號(hào)飛船攜入太空,向廣袤的宇宙中可能存在的外星人傳達(dá)人類文明信息與美好祝愿。
《射雕英雄傳》里面有一個(gè)情節(jié),郭靖帶著受傷的黃蓉四處求高人療傷,遇見瑛姑。瑛姑也愛好各種奇門術(shù)數(shù),但是花了好多年卻解不出一個(gè)三階幻方。這個(gè)三階幻方也就是"洛書",它有三行三列,九個(gè)空格分別填上一到九這九個(gè)數(shù)字,使得每行、每列、每條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)的和都相等。
黃蓉是黃老邪的女兒,古靈精怪,自然也精通此道,很快告訴了瑛姑答案。于是瑛姑就告訴郭靖黃蓉可以找段皇爺療傷。當(dāng)然瑛姑其實(shí)也是為了找段皇爺尋仇。這是后話。其實(shí)三階的幻方太簡(jiǎn)單了。我倒覺得金庸可以可以把這一段情節(jié)改成瑛姑解的是一個(gè)五階幻方,就是五行五列的幻方,甚至是七行七列的幻方,這樣花十幾年解不出也情有可原,難度大些,瑛姑也不至于顯得那么笨。不知道金庸是不是為了襯托黃蓉的聰明?她的口訣是:九宮之義,法以靈龜,二四為肩,六八為足,左七右三,戴九履一,五居中央。
用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述,幻方是指在n×n(n行n列)的方格里,既不重復(fù)又不遺漏地填上n個(gè)連續(xù)的自然數(shù),每個(gè)數(shù)占一格,并使排在任一行、任一列和兩條對(duì)角線上的幾個(gè)自然數(shù)的和都相等,這個(gè)和叫幻和,n叫幻方的階,這樣的數(shù)表叫n階幻方。
幻方之美在于其內(nèi)在的數(shù)學(xué)原理,在于其外在的完美形態(tài),更在于它無(wú)窮無(wú)盡的變幻。每個(gè)幻方以整齊劃一、均衡對(duì)稱、和諧統(tǒng)一的特性,迸發(fā)出耀人的數(shù)學(xué)之美的光輝。如今,幻方仍然是組合數(shù)學(xué)的研究課題之一,經(jīng)過一代代數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)愛好者的共同努力,幻方與它的變體所蘊(yùn)含的各種神奇的科學(xué)性質(zhì)正逐步得到揭示。在種類上,更加可以細(xì)分為完全幻方、乘幻方、多階幻方、高次幻方,以及反幻方等。
當(dāng)前,幻方已在組合分析、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、圖論、數(shù)論、群、對(duì)策論、紡織、工藝美術(shù)、程序設(shè)計(jì)、人工智能等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用??梢哉f(shuō),來(lái)自遠(yuǎn)古的幻方,將帶領(lǐng)人類走向更高智能的未來(lái)。
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