神奇的幻方來(lái)自遠(yuǎn)古的數(shù)字謎團(tuán)

幻方，也稱九宮格，宋代數(shù)學(xué)家楊輝稱之為縱橫圖，是我國(guó)一種傳統(tǒng)數(shù)字游戲。幻方是將從1到若干個(gè)數(shù)的自然數(shù)排成縱橫各為若干個(gè)數(shù)的正方形，使在同一行、同一列和同一對(duì)角線上的幾個(gè)數(shù)的和都相等。古時(shí)候幻方經(jīng)常在官府、學(xué)堂等場(chǎng)所出見，后來(lái)通過印度、阿拉伯等地傳到西方，因其奇幻的特性，被稱為Magic Square，即"幻方"或"魔方"。

讓我們從一首古詩(shī)開始幻方的探究吧：

四海三山八仙洞，九龍王子一枝蓮。

二七六郎賞月半，周圍十五月團(tuán)圓。

這首古詩(shī)的背景為：相傳大禹治水時(shí)，在黃河支流洛水中浮現(xiàn)出一只神龜，龜背上有一個(gè)很奇特的圖案，古人認(rèn)為是一種祥瑞，預(yù)示著抗洪救災(zāi)工作馬上成功，此圖被稱為洛書，洛書中的小點(diǎn)點(diǎn)其實(shí)代表9個(gè)數(shù)……像這樣每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和都相等的方格表就叫做幻方，三行三列的幻方就叫三階幻方，類似的四行四列的幻方就叫四階幻方。

另一傳說(shuō)，上古伏羲氏時(shí)，有龍馬從黃河里跳出來(lái)，背上負(fù)著河圖；有神龜從洛水里跳出來(lái)，背上負(fù)有洛書。伏羲氏根據(jù)河圖、洛書演化成八卦。洛書便是最早的幻方，用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語(yǔ)言解釋，就是用1~9九個(gè)數(shù)字，填在九個(gè)格子里，使每一橫行、每一豎列以及兩條對(duì)角線上3個(gè)數(shù)字的和都等于15。

洛書被世界公認(rèn)為組合數(shù)學(xué)的鼻祖，它是中華民族對(duì)人類的偉大貢獻(xiàn)之一。同時(shí)，洛書以其高度抽象的內(nèi)涵，對(duì)中國(guó)古代政治倫理、數(shù)學(xué)、天文氣象、哲學(xué)、醫(yī)學(xué)、宗教等等都產(chǎn)生了重要影響。在遠(yuǎn)古傳說(shuō)中，于治國(guó)安邦上也具有積極的寓意。包括洛書在內(nèi)的幻方自古以來(lái)在亞、歐、美洲不少國(guó)家都被作為驅(qū)邪避兇的吉祥物。

最早將數(shù)字與洛書相連的記載是2300年前的《莊子·天運(yùn)》，它認(rèn)為"天有六極五常，帝王順之則治，逆之則兇。九洛之事，治成德備，監(jiān)照下土，天下戴之，此謂上皇"。遠(yuǎn)古時(shí)代，伏羲依靠河圖畫出八卦，大禹按照洛書劃分九州，并制定治理天下的九類大法，圣人們根據(jù)它們演繹出各種治國(guó)安邦的良策，對(duì)人類社會(huì)與自然界的認(rèn)識(shí)也得到步步深化。大禹從洛書中數(shù)的相互制約，均衡統(tǒng)一得到啟發(fā)而制定國(guó)家的法律體系，使得天下一統(tǒng)，歸于大治，這就是"借鑒思維"的開端，這種活化思維的方式已成為現(xiàn)代科學(xué)靈感的來(lái)源之一。

作為洛書三階幻方基礎(chǔ)的九宮數(shù)字“二九四，七五三，六一八”，在公元80年出版的古書《大戴禮記》卷八《明堂篇》中有明顯記載，這是中國(guó)人在數(shù)學(xué)上的偉大創(chuàng)造，它奠定了數(shù)學(xué)中一個(gè)重要分支——組合學(xué)的基礎(chǔ)。

中國(guó)不僅擁有幻方的發(fā)明權(quán)，而且是對(duì)幻方進(jìn)行深入研究的國(guó)家。從洛書發(fā)端的幻方在數(shù)千年后更加生機(jī)盎然，被稱為具有永恒魅力的數(shù)學(xué)問題。十三世紀(jì)，中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在世界上首先開展了對(duì)幻方的系統(tǒng)研究，并編制出三至十階幻方，記載在他1275年寫的《續(xù)古摘廳算法》一書中。洛書上的三階幻方，楊輝將其生成法和最后布局歸結(jié)為以下8句話：

關(guān)于幻方的基本填法有一句順口溜：“九宮者，二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履一，五居中央”_。其實(shí)，除了5以外，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)900、1800、2700和反射，可以得到七種變式填法，共計(jì)八種（見下圖）。

楊輝稱四階幻方為“花十六圖”或“四四圖”，并給出陰、陽(yáng)兩種排列的方式。

這兩個(gè)四階幻方所應(yīng)用的數(shù)字是一致的，只是在排列上有差異。但不管怎樣排列，幻方常數(shù)沒有變，始終是34.

歐洲十四世紀(jì)也開始了這方面的工作。著名數(shù)學(xué)家費(fèi)爾瑪、歐拉都進(jìn)行過幻方研究，但直到1514年，德國(guó)著名畫家杜勒才繪制出了完整的四階幻方。直到十五世紀(jì)，住在君士坦丁堡的魔索普拉才把中國(guó)的縱橫圖傳給了歐洲人，歐洲人認(rèn)為幻方可以鎮(zhèn)壓妖魔，所以把它作為護(hù)身符，也把它叫作【Magic Square】。1977年，四階幻方還作為人類的特殊語(yǔ)言被美國(guó)旅行者1號(hào)、2號(hào)飛船攜入太空，向廣袤的宇宙中可能存在的外星人傳達(dá)人類文明信息與美好祝愿。

《射雕英雄傳》里面有一個(gè)情節(jié)，郭靖帶著受傷的黃蓉四處求高人療傷，遇見瑛姑。瑛姑也愛好各種奇門術(shù)數(shù)，但是花了好多年卻解不出一個(gè)三階幻方。這個(gè)三階幻方也就是"洛書"，它有三行三列，九個(gè)空格分別填上一到九這九個(gè)數(shù)字，使得每行、每列、每條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)的和都相等。

黃蓉是黃老邪的女兒，古靈精怪，自然也精通此道，很快告訴了瑛姑答案。于是瑛姑就告訴郭靖黃蓉可以找段皇爺療傷。當(dāng)然瑛姑其實(shí)也是為了找段皇爺尋仇。這是后話。其實(shí)三階的幻方太簡(jiǎn)單了。我倒覺得金庸可以可以把這一段情節(jié)改成瑛姑解的是一個(gè)五階幻方，就是五行五列的幻方，甚至是七行七列的幻方，這樣花十幾年解不出也情有可原，難度大些，瑛姑也不至于顯得那么笨。不知道金庸是不是為了襯托黃蓉的聰明？她的口訣是：九宮之義，法以靈龜，二四為肩，六八為足，左七右三，戴九履一，五居中央。

用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述，幻方是指在n×n(n行n列)的方格里，既不重復(fù)又不遺漏地填上n個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，每個(gè)數(shù)占一格，并使排在任一行、任一列和兩條對(duì)角線上的幾個(gè)自然數(shù)的和都相等，這個(gè)和叫幻和，n叫幻方的階，這樣的數(shù)表叫n階幻方。

幻方之美在于其內(nèi)在的數(shù)學(xué)原理，在于其外在的完美形態(tài)，更在于它無(wú)窮無(wú)盡的變幻。每個(gè)幻方以整齊劃一、均衡對(duì)稱、和諧統(tǒng)一的特性，迸發(fā)出耀人的數(shù)學(xué)之美的光輝。如今，幻方仍然是組合數(shù)學(xué)的研究課題之一，經(jīng)過一代代數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)愛好者的共同努力，幻方與它的變體所蘊(yùn)含的各種神奇的科學(xué)性質(zhì)正逐步得到揭示。在種類上，更加可以細(xì)分為完全幻方、乘幻方、多階幻方、高次幻方，以及反幻方等。

當(dāng)前，幻方已在組合分析、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、圖論、數(shù)論、群、對(duì)策論、紡織、工藝美術(shù)、程序設(shè)計(jì)、人工智能等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用?？梢哉f(shuō)，來(lái)自遠(yuǎn)古的幻方，將帶領(lǐng)人類走向更高智能的未來(lái)。

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