紛繁多少象（項），都入費曼圖

如果說物理學(xué)是用圖像來思考，用數(shù)學(xué)來表達(dá)的一門學(xué)問，那么費曼終其一生，都是特別強調(diào)圖像思考的重要性的。費曼其人，也經(jīng)歷了多彩的一生，欲了解其生平及成就，可訂閱湖南科學(xué)技術(shù)出版社編譯的《永遠(yuǎn)的費曼》系列叢書。本文則講述了費曼在量子電動力學(xué)的圖像描述方面所做的原創(chuàng)性工作。

自然厭惡真空?！獊喞锸慷嗟?/p>

物理學(xué)厭惡無窮。——筆者

如果說十九世紀(jì)以柯西（Augustin Louis Cauchy，1789-1857）和維爾斯特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstrass，1815-1897）為代表的數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)分析方面的工作結(jié)束了無窮概念在數(shù)學(xué)中勾起的噩夢的話，那么無窮對于20世紀(jì)的物理學(xué)家來說恐怕只是噩夢的開始。我們?nèi)羰菗Q一種宏觀思路來粗線條地概括20世紀(jì)物理學(xué)，則可以說將無窮有限化是20世紀(jì)物理學(xué)的一個主脈絡(luò)。相對論的確立把超距作用（action-at-a-distance）剔除出去，解決了（電磁和引力）相互作用并非無窮快（瞬時）傳播的問題，而量子論的建立引入量子化條件則是應(yīng)對電磁能量的單元（準(zhǔn)確來說是作用量，action）并非無窮小的問題。普朗克常數(shù)h并非無窮小，光速c并非無窮大，這是量子論和相對論與經(jīng)典物理的脫卯處，而非接榫的地方（我們經(jīng)常會聽到或讀到h趨于無窮小或c趨于無窮大的話，這種話有其歷史淵源，但似乎沒有多少物理內(nèi)涵）。

然而，兩大現(xiàn)代物理學(xué)支柱在20世紀(jì)30年代以前的樹立并非就使得后來物理學(xué)家的工作一勞永逸。以二戰(zhàn)為分界線，后來的物理學(xué)家還要不斷地與無窮的問題作頑強的斗爭，只是他們處理這一問題的思路和方式已與戰(zhàn)前的主流有了很大差別。二戰(zhàn)以前，在物理學(xué)的主流里，歐洲的哲學(xué)思辨風(fēng)格處處彌漫。而親歷了二戰(zhàn)各種戰(zhàn)備（爭）工作成長起來的一批（美國）物理學(xué)家，“get the numbers out”是他們的普遍態(tài)度。“Shut up and calculate”雖然不是本文主人公費曼的話（David Mermin曾撰文指出該話出自Mermin本人），卻代表了費曼這一代美國本土物理學(xué)家的研究風(fēng)格。

20世紀(jì)實驗物理學(xué)的主線條可以用一個關(guān)鍵詞來概括：散射?；A(chǔ)物理學(xué)家的主要工作就是考察和解析入射粒子與靶（或另一束入射粒子）發(fā)生碰撞后的散射產(chǎn)物和方式。而描述入射和出射行為的自然的數(shù)學(xué)工具是散射矩陣，對應(yīng)的比較直接的物理量則是散射振幅。理論物理學(xué)家需要做的，便是給出散射矩陣或者散射振幅的解析表達(dá)。在此，他們再次遇到了無窮（發(fā)散）的問題。

在狄拉克于1928年提出描述電子行為的相對論性量子力學(xué)方程并于1930年提出空穴理論來解釋方程的負(fù)能量解之后，我們似乎已經(jīng)有了建立完備的量子電動力學(xué)的信心。然而三個問題的出現(xiàn)使物理學(xué)家的信心遭受挫折，它們分別是：真空極化，電子自能和電子磁矩。當(dāng)時處理這三個問題的基本思路是大致一樣的，即對電子的電荷、質(zhì)量和磁矩分別做一修正，即則三個問題便可以以微擾的方式得到解決。然而，計算得到的是修正項為無窮大而非有限的結(jié)果。當(dāng)然，可以通過截斷散射振幅表達(dá)式中的積分上（下）限來得到有限結(jié)果，但這會破壞計算的相對論不變性。

費曼是如何看待和處理這一問題的？他采取了一種不同于量子場論中慣用的二次量子化的思路（實際上對費曼方法進(jìn)行二次量子化改造是由Freeman Dyson完成的，Dyson證明了費曼理論與Schwinger、Tomonaga理論的等價性，并證明了任意階的微擾展開都可以得到有限結(jié)果。有趣的是，Dyson的這一工作受益于與費曼一起長途旅行中的討論，并且發(fā)表于費曼自己關(guān)于這一主題的文章之前）。如果說物理學(xué)是用圖像來思考，用數(shù)學(xué)來表達(dá)的一門學(xué)問，那么費曼終其一生，都特別強調(diào)圖像思考的重要性。費曼圖便是從他的這一風(fēng)格中自然而然地衍生出來的。

費曼圖的原始文本形式出現(xiàn)在費曼1949年發(fā)表在Physical Review上的兩篇經(jīng)典論文The Theory of Positrons和Space-Time Approach to Quantum Electrodynamics中。在此前1948年的Pocono會議上，費曼首次向聽眾展示了自己的方法，雖然費曼的方法能夠得到與實驗一致的結(jié)果，但是與會的物理學(xué)家（主要是戰(zhàn)前即已成名的歐洲物理學(xué)家）并不買賬。而在這兩篇論文中，費曼的思路得到了完整的闡述。從粒子的視角出發(fā)，他沿用了其導(dǎo)師John Wheeler提出的將正電子視作逆時間運動的電子的建議（這一思想Stuckelberg亦于1942年提出過），先在非相對論量子力學(xué)的薛定諤方程的框架下采用格林函數(shù)的方法將方程的解寫為：

格林函數(shù)K滿足：

圖1. 用順時間方向運動和逆時間方向運動描述電子和正電子行為。Case I: 電子被散射。Case II：正電子被散射。Case III：電子-正電子湮滅。Case IV：電子-正電子產(chǎn)生

K包含了帶電粒子運動的所有信息。假定粒子在有限的時空域內(nèi)受到弱勢場U(x,t)的影響，則K可以微擾展開為關(guān)于U的各階函數(shù)：

經(jīng)過一系列解析推導(dǎo)（細(xì)節(jié)參閱參考文獻(xiàn)1），可以分別寫出上述各項：

與此相類比，在相對論性量子力學(xué)的框架下傳播函數(shù)滿足方程：

其各項展開亦與（4）類似。

若有多個粒子參與，則函數(shù)K（或K+）中所包含的表示粒子時空坐標(biāo)的參數(shù)增加，且需計入粒子交換所需滿足的統(tǒng)計規(guī)律。

微擾表達(dá)式的各項（n）分別代表（n個）時空域中存在勢場的情形。這可以直觀地進(jìn)行圖像描述。反過來，由圖像也可以直接寫出傳播函數(shù)的微擾表達(dá)式各項。這一思路也可以向多粒子的情形推廣，如圖2所示的包含兩個電子的幾種情形：

圖2. 包含兩個電子運動的幾種情形

由此，費曼建立了粒子運動圖像與散射振幅的解析表達(dá)式之間的直接關(guān)聯(lián)，根據(jù)圖像特征可以直接寫出散射振幅的表達(dá)式，這在復(fù)雜的高階微擾計算中體現(xiàn)出相當(dāng)大的優(yōu)勢。例如電子的自能可以表示為圖3的形式，同時傳播函數(shù)的一階微擾表達(dá)式為：

其中，

圖3. 電子自能在實空間的圖像表示

在動量-能量空間考察會使得問題得到簡化。電子自能的費曼圖在動量-能量空間表示為圖4的形式，同時其表達(dá)式為：

圖4. 電子自能在動量空間的圖像表示

如費曼自己在文獻(xiàn)2中所言，上述思路只是完成了對于傳統(tǒng)量子電動力學(xué)的重新表達(dá)，并沒有解決微擾修正卻出現(xiàn)無窮大結(jié)果的問題。所以費曼圖只是提供了簡記散射振幅的微擾修正項的圖像表示方法，它并沒有幫助解決無窮的問題。

解決無窮的問題采取了這樣一種思路，即在類似（7）的表達(dá)式中人為引入收斂因子，使得整個積分結(jié)果趨于收斂，在自能情形，收斂因子的形式為。這實際上是對k作了高頻截斷，這種人為操作便是重整化的思路。這種技術(shù)思路可以使得計算結(jié)果與實驗結(jié)果相當(dāng)好地匹配。而費曼圖的使用又使得復(fù)雜的表達(dá)式得以直觀地以圖像形式展現(xiàn)。二者的結(jié)合使得量子電動力學(xué)在技術(shù)層面解除了無窮的困擾。

然而要指出的是，一方面費曼是從物理圖像出發(fā)構(gòu)造了后來以其名字命名的費曼圖，另一方面，Dyson從數(shù)學(xué)嚴(yán)格性的角度對費曼圖的拓?fù)鋷缀翁卣魈岢隽思s束條件。費曼圖后來的使用和擴展已經(jīng)大大突破了其創(chuàng)立者所設(shè)定的藩籬，所以，可以這樣說，一千個物理學(xué)家就有一千種不同的費曼圖，每一張費曼圖所包含的物理真實性和數(shù)學(xué)嚴(yán)格性的成分并不固定。

另外，雖然重整化的思路解決了量子電動力學(xué)面臨的無窮的問題，然而對于堅守哲學(xué)原則的二十世紀(jì)早期的物理學(xué)家而言，重整化的思路不能令人滿意的一個原因也許在于它不如狹義相對論的光速不變原理和量子力學(xué)的量子化條件那般優(yōu)雅，但這至少代表了物理學(xué)在面對無窮問題時的一種努力。

費曼圖的演化乃至量子電動力學(xué)的發(fā)展昭示我們，物理學(xué)從來也不是定于一鼎的學(xué)問，經(jīng)得起修修補補才是它的魅力所在?？梢栽O(shè)想，隨著人類的探索之旅拓向極大或者極小的時空尺度，無窮所帶來的無盡煩惱也會畢現(xiàn)。物理，當(dāng)有直面的力量。

參考文獻(xiàn)

[1] R. P. Feynman. The Theory of Positrons. Physical Review 76(6), 749–759 (1949).

[2] R. P. Feynman. Space-Time Approach to Quantum Electrodynamics. Physical Review 76(6), 769–789 (1949).

[3] R. P. Feynman. Quantum Electrodynamics. Frontiers in Physics series, Addison-Wesley, (1961).

[4] A. Wüthrich. The Genesis of Feynman Diagrams. Springer, (2010).

[5] D. Kaiser. Drawing Theories Apart: The Dispersion of Feynman Diagrams in Postwar Physics. The University of Chicago Press, (2005).

[6] S. S. Schweber. QED and the Men Who Made It: Dyson, Feynman, Schwinger, and Tomonaga. Princeton: Princeton University Press, (1994).

備注：文中使用了費曼在其1949年的兩篇論文中使用的符號和圖像表示。

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