拼音 : 截長(zhǎng)補(bǔ)短 (jié cháng bǔ duǎn)
簡(jiǎn)拼 : jcbd
近義詞 : 揚(yáng)長(zhǎng)避短、集思廣益
反義詞 : 將錯(cuò)就錯(cuò)
感情色彩 : 褒義詞
成語(yǔ)結(jié)構(gòu) : 連動(dòng)式
成語(yǔ)解釋 : 截:切斷。截取長(zhǎng)的,補(bǔ)充短的。比喻用長(zhǎng)處補(bǔ)短處
出處 : 宋·度正《條奏便民五事》:“舊城堙廢之余,截長(zhǎng)補(bǔ)短,可得十之五,為工約二萬(wàn)余工。”
成語(yǔ)用法 : 連動(dòng)式;作謂語(yǔ)、定語(yǔ)、賓語(yǔ);比喻用長(zhǎng)處補(bǔ)短處
例子 : (1)教師之間,應(yīng)互相截長(zhǎng)補(bǔ)短,共同提高。(2)三年來買賣有盈有虧,截長(zhǎng)補(bǔ)短,多少還有些利潤(rùn)。
產(chǎn)生年代 : 古代
常用程度 : 常用
都發(fā)生在角平分線處。
截長(zhǎng):在長(zhǎng)邊上截取一點(diǎn),使得截取的部分等于短邊,根據(jù)SAS可證全等;補(bǔ)短:延長(zhǎng)短邊,使得延長(zhǎng)后的短邊等于長(zhǎng)邊,根據(jù)SAS證全等。
性質(zhì)
1、角平分線分得的兩個(gè)角相等,都等于該角的一半。(定義)
2、角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。
人說幾何很困難,難點(diǎn)就在輔助線。
輔助線,如何添?把握定理和概念。
還要刻苦加鉆研,找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。
三角形
圖中有角平分線,可向兩邊作垂線。
也可將圖對(duì)折看,對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。
角平分線平行線,等腰三角形來添。
角平分線加垂線,三線合一試試看。
線段垂直平分線,常向兩端把線連。
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[例題1]
如圖1,D是⊿ABC的邊AC的中點(diǎn),延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E,使CE=BC,ED的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F,求ED∶EF。
分析:
思路一:過C作AB的平行線交DE于G,由D是AC的中點(diǎn)可得FD=DG,由CE=BC可得FG=GE,從而得ED∶EF=3∶4。
思路二:過D作BE的平行線交AB于I,類似法一得ID∶BC=1∶2,ID∶BE=1∶4,從而得ED∶EF=3∶4。
思路三:過D作AB的平行線交BE于H,易得BH=HC=1/4BE,得ED∶EF=3∶4。
說明:本題三種思路所添加的三條平行線,均是為了充分利用“D是⊿ABC的邊AC的中點(diǎn)”這一條件,使本來感覺比較薄弱的一個(gè)條件,在平行線的作用下變得內(nèi)涵豐富,既有另外一邊的中點(diǎn)出現(xiàn),又可以利用三角形的中位線定理,這樣使用起來就更加得心應(yīng)手。
構(gòu)造圖形,補(bǔ)題設(shè)(已知)的不足有時(shí)必須添加一些圖形,使題設(shè)條件能充分顯示出來,從而為定理的應(yīng)用創(chuàng)造條件,或者使不能直接證得的結(jié)論轉(zhuǎn)化為與它等價(jià)的另一個(gè)結(jié)論,便于思考與證明。
[例題2]
已知:O是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),∠OBC=∠OCB=15°求證:⊿AOB是等邊三角形。
分析:
(如圖2)構(gòu)建三角形OMC。使DH⊥OC于H,則∠2=15°作∠DCM=15°則⊿DMC≌⊿BOC且∠MCO=60°DM=MC=OC=OM
∴∠DMO=360°-60°-150°=150°
∴∠1=∠MOD=15°
從而有∠DOC=∠DCO=75°,DO=DC=AD=AB=AO
說明:本題就是利用輔助線構(gòu)造出一個(gè)和要證明的結(jié)論類似的等邊三角形,然后借助構(gòu)造出的圖形解答題目。
把分散的幾何元素聚集起來
有些幾何題,條件與結(jié)論比較分散。通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線,將圖形中分散、“遠(yuǎn)離”了的元素聚集到有關(guān)的圖形上,使他們相對(duì)集中、便于比較、建立關(guān)系,從而找出問題的解決途徑。
[例題3]
如圖8,△ABC中,∠B=2∠C,且∠A的平分線為AD,問AB與BD的和等于AC嗎?
思路一:如圖9,在長(zhǎng)線段AC上截取AE=AB,由△ABD≌△AED推出BD=DE,從而只需證EC=DE。
思路二:如圖10,延長(zhǎng)短線段AB至點(diǎn)E,使AE=AC,因而只需證BE=BD,由△AED≌△ACD及∠B=2∠C,可證∠E=∠BDE,從而有BE=BD。
思路三:如圖10,延長(zhǎng)AB至E,使BE=BD,連接ED,由∠ABD=2∠C,∠ABD=2∠E,可證△AED≌△ACD,可得AE=AC,即AC=AB+BD。
說明:這道例題就是利用輔助線,把本來不在一條直線的線段AB與BD聚集到一條直線上來,這樣就可以輕松得到AB+BD或者AC—AB,然后題目就迎刃而解了。
平面幾何中添加輔助線的方法是靈活多變的,這就要求我們熟練掌握數(shù)學(xué)中的基本概念和基本定理,在實(shí)踐探索中經(jīng)常進(jìn)行歸類總結(jié),仔細(xì)分析題目給我們的條件,找到隱含的及一些有規(guī)律的信息。
來源
要證線段倍與半,延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。
三角形中兩中點(diǎn),連接則成中位線。
三角形中有中線,延長(zhǎng)中線等中線。
四邊形
平行四邊形出現(xiàn),對(duì)稱中心等分點(diǎn)。
梯形里面作高線,平移一腰試試看。
平行移動(dòng)對(duì)角線,補(bǔ)成三角形常見。
證相似,比線段,添線平行成習(xí)慣。
等積式子比例換,尋找線段很關(guān)鍵。
直接證明有困難,等量代換少麻煩。
斜邊上面作高線,比例中項(xiàng)一大片。
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